Développer et factoriser

Calculer

Les trois identités, et leur piège

• Le carré d’une somme

  (a + b)² = a² + 2ab + b²

  Le double produit 2ab est le terme qu’on oublie. Écrire (a + b)² = a² + b² est l’erreur la plus fréquente de toute la troisième.

• Le carré d’une différence

  (a − b)² = a² − 2ab + b²

  Le dernier terme reste positif : un carré ne peut pas être négatif. Écrire « − b² » à la fin est faux.

• La différence de deux carrés

  (a + b)(a − b) = a² − b²

  C’est celle qu’on ne reconnaît pas dans l’autre sens. Devant x² − 9, presque personne ne voit (x + 3)(x − 3).

Le contre-exemple qui règle la question

Beaucoup écrivent (a + b)² = a² + b², parce que l’œil voit deux carrés et conclut trop vite. Un calcul de dix secondes suffit à prouver que c’est faux — et il suffit souvent à ne plus jamais l’oublier.

Douze d’écart, et c’est exactement le double produit : 2 × 2 × 3 = 12. Le terme oublié n’est pas un détail de la formule, c’est la moitié du résultat.

À quoi sert la factorisation

À résoudre des équations qu’on ne saurait pas résoudre autrement. Si un produit vaut zéro, l’un de ses facteurs vaut zéro — c’est tout le principe.

Les questions qu’on se pose

Quelle différence entre développer et factoriser ?

Développer, c’est ouvrir les parenthèses et obtenir une somme : (x + 3)² devient x² + 6x + 9. Factoriser, c’est l’inverse, refermer les parenthèses et obtenir un produit : x² − 9 devient (x + 3)(x − 3). Ce sont deux gestes opposés, appris la même semaine, et c’est précisément ce qui les fait confondre.

Quelles sont les trois identités remarquables ?

(a + b)² = a² + 2ab + b², (a − b)² = a² − 2ab + b², et (a + b)(a − b) = a² − b². Les deux premières se ratent au double produit, la troisième ne se reconnaît pas dans le sens de la factorisation.

Pourquoi oublie-t-on le 2ab ?

Parce que l’œil voit deux carrés et conclut trop vite : (a + b)² = a² + b² semble naturel, et c’est faux. Le contre-exemple le plus court le prouve : (2 + 3)² = 25, alors que 2² + 3² = 13. Faire ce calcul une fois suffit souvent à ne plus jamais l’oublier.

Le dernier terme de (a − b)² est-il négatif ?

Non. (a − b)² = a² − 2ab + b². Seul le double produit change de signe ; le carré de b reste positif, parce qu’un carré ne peut pas être négatif. C’est la seconde erreur la plus fréquente du chapitre.

Comment reconnaître une factorisation possible ?

Au collège, il n’y a que deux voies. Ou bien tous les termes contiennent un facteur commun, qu’on met devant. Ou bien l’expression est une différence de deux carrés — deux carrés parfaits séparés par un moins. Si aucune des deux ne marche, l’exercice ne demandait pas de factoriser.

À quoi cela sert-il vraiment ?

À résoudre des équations. Une équation produit se résout en factorisant : si A × B = 0, alors A = 0 ou B = 0. Sans factorisation, l’équation x² − 9 = 0 n’a aucune méthode au collège ; avec, elle se résout en trois lignes.

Résoudre une équation · Le théorème de Pythagore