PGCD et fractions irréductibles
PGCD et fractions irréductibles
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PGCD de 84 et 60
12
L’algorithme d’Euclide
- 84 = 60 × 1 + 24
- 60 = 24 × 2 + 12
- 24 = 12 × 2 + 0
On remplace le grand nombre par le reste, et on recommence. Le dernier reste non nul est le PGCD.
PPCM = (84 × 60) ÷ 12 = 420
La fraction 84/60, rendue irréductible
7/5
- Le PGCD de 84 et 60 vaut 12.
- On divise les deux termes par 12 — une seule fois, pas plusieurs.
- 84 ÷ 12 = 7, et 60 ÷ 12 = 5.
- On obtient 7/5, et l’on est certain qu’on ne peut pas aller plus loin : c’est ce que garantit le PGCD.
L’autre chemin : les facteurs premiers
84 = 2² × 3 × 7
60 = 2² × 3 × 5
Le PGCD est le produit des facteurs communs, chacun à son plus petit exposant. C’est plus lent qu’Euclide sur de grands nombres, mais c’est plus parlant : on voit ce que les deux nombres partagent.
Pourquoi l’algorithme d’Euclide marche
Un diviseur commun à deux nombres divise aussi leur différence — donc leur reste. On peut donc remplacer le grand nombre par le reste sans rien perdre, et recommencer sur des nombres de plus en plus petits. C’est cette phrase qui manque à toutes les leçons.
- 84 = 60 × 1 + 24
- 60 = 24 × 2 + 12
- 24 = 12 × 2 + 0
Le dernier reste non nul est 12 : c’est le PGCD. Trois divisions, quel que soit le nombre de diviseurs à essayer autrement.
À quoi ça sert vraiment
Rendre une fraction irréductible en une seule division.
Simplifier par 2, puis par 2, puis par 3 mène au même résultat mais laisse un doute : est-ce fini ? Diviser par le PGCD garantit que non — et cette certitude est ce qu’on demande en contrôle.
Partager sans reste.
On veut faire des paquets identiques avec 84 crayons et 60 gommes, sans rien laisser : le nombre maximal de paquets est le PGCD, soit 12. C’est le problème type du brevet.
Additionner deux fractions.
Le dénominateur commun le plus économique est le PPCM des deux dénominateurs. On peut prendre leur produit, mais on se retrouve alors à simplifier à la fin.
Savoir si deux nombres sont premiers entre eux.
Leur PGCD vaut 1. Cela ne veut pas dire qu’ils sont premiers : 8 et 9 sont premiers entre eux, et aucun des deux n’est un nombre premier.
Premiers, ou premiers entre eux ?
Un nombre premier
N’a que deux diviseurs : 1 et lui-même. 7 est premier ; 8 ne l’est pas.
Deux nombres premiers entre eux
N’ont que 1 en commun. 8 et 9 le sont, et pourtant aucun des deux n’est premier.
La différence : « premier » décrit un nombre seul, « premiers entre eux » décrit une relation entre deux nombres. C’est la confusion la plus fréquente du chapitre.
Les questions qu’on se pose
- À quoi sert le PGCD ?
- À rendre une fraction irréductible en une seule division. Simplifier par 2, puis par 2, puis par 3 mène au même résultat, mais laisse toujours un doute : est-ce fini ? Diviser par le PGCD garantit que oui — et c’est cette certitude que le contrôle demande.
- Comment fonctionne l’algorithme d’Euclide ?
- On divise le grand nombre par le petit, on garde le reste, et on recommence avec le petit et le reste. Le dernier reste non nul est le PGCD. Cela marche parce qu’un diviseur commun à deux nombres divise aussi leur reste — cette phrase manque à presque toutes les leçons.
- Deux nombres premiers entre eux sont-ils des nombres premiers ?
- Non, et c’est la confusion la plus fréquente. 8 et 9 sont premiers entre eux — leur PGCD vaut 1 — alors qu’aucun des deux n’est un nombre premier. « Premiers entre eux » décrit une relation entre deux nombres, pas une propriété de chacun.
- Comment calculer un PPCM ?
- Le plus simple est de passer par le PGCD : le produit des deux nombres divisé par leur PGCD. Pour 4 et 6 : 24 ÷ 2 = 12. C’est plus rapide que de lister les multiples, et cela marche sur de grands nombres.
- Faut-il préférer Euclide ou les facteurs premiers ?
- Euclide sur de grands nombres, parce qu’il converge en quelques divisions. Les facteurs premiers quand on veut comprendre : ils montrent ce que les deux nombres partagent. Les deux méthodes donnent le même résultat, et les deux sont acceptées en contrôle.
- En quelle classe apprend-on tout cela ?
- Le PGCD et l’algorithme d’Euclide en troisième, la simplification des fractions bien plus tôt — dès le CM2 par tâtonnement, puis en cinquième avec méthode. C’est le PGCD qui transforme un tâtonnement en certitude.
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Une technique sans usage ne se retient pas
C’est pour cela que le PGCD s’oublie entre deux contrôles : on l’a appris comme un algorithme, pas comme un outil. Le Prof du soir le fait revenir toujours dans un problème — simplifier, partager, additionner — jamais à vide.
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