Fonctions linéaires et affines

Votre fonction

Des fonctions qu’on connaît déjà

• Un abonnement à 20 € plus 10 € par moisf(x) = 10x + 20

  Affine : les 20 € se paient même le premier jour.

• Des pommes à 2,50 € le kilof(x) = 2,5x

  Linéaire : sans pommes, on ne paie rien. La droite passe par l’origine.

• Un taxi : 4 € de prise en charge, puis 1,80 € du kilomètref(x) = 1,8x + 4

  Affine. Le 4 est la prise en charge, le 1,8 le prix au kilomètre.

• Une remise de 30 % sur un prixf(x) = 0,7x

  Linéaire : c’est le coefficient multiplicateur des pourcentages.

Linéaire ou affine

Les deux ne s’opposent pas : toute fonction linéaire est affine, avec b nul. Répondre « affine » pour une fonction linéaire n’est donc pas faux, seulement moins précis.

L’exercice de brevet type

Comparer deux tarifs. Une salle de sport propose 8 € la séance, ou un abonnement de 60 € plus 3 € la séance. À partir de combien de séances l’abonnement devient-il plus intéressant ?

Les erreurs qui coûtent des points

• Confondre image et antécédent.

  L’image se calcule — on remplace x et on obtient y. L’antécédent se résout — on connaît y et on cherche x par une équation. Chercher un antécédent en remplaçant donne un nombre, mais pas le bon.

• Croire que linéaire et affine s’opposent.

  Toute fonction linéaire est affine — c’est le cas où b vaut zéro. L’inverse est faux. Répondre « affine » pour une fonction linéaire n’est donc pas une erreur, seulement moins précis.

• Oublier que b se lit sur l’axe vertical.

  Le point où la droite coupe l’axe des ordonnées donne b directement, sans calcul. C’est le moyen le plus rapide de lire une fonction sur un graphique.

• Calculer le coefficient directeur à l’envers.

  C’est la variation des y divisée par celle des x, jamais l’inverse. Le contrôle : si la droite monte, a doit être positif.

Les questions qu’on se pose

Quelle différence entre une fonction linéaire et une fonction affine ?

Une fonction linéaire passe par l’origine : sans rien consommer, on ne paie rien. Une fonction affine ne passe pas par l’origine : il y a un abonnement, une prise en charge, un frais fixe. Toute fonction linéaire est affine — c’est le cas où b vaut zéro — mais l’inverse est faux.

Que veulent dire a et b ?

a est ce qu’on paie en plus à chaque unité : le prix au kilo, le tarif par mois, la pente de la droite. b est ce qu’on paie même sans rien prendre : l’abonnement, la prise en charge du taxi, le point où la droite coupe l’axe vertical.

Quelle différence entre une image et un antécédent ?

L’image se calcule : on connaît x, on remplace, on obtient y. L’antécédent se résout : on connaît y et on cherche x par une équation. Chercher un antécédent en remplaçant donne bien un nombre, mais pas le bon — et rien ne signale l’erreur.

Comment trouver le coefficient directeur ?

C’est la variation des y divisée par celle des x, jamais l’inverse. Entre A(1 ; 5) et B(3 ; 11) : (11 − 5) ÷ (3 − 1) = 3. Le contrôle qui ne trompe pas : si la droite monte, a doit être positif.

Comment lire b sur un graphique ?

C’est l’ordonnée du point où la droite coupe l’axe vertical, celui des y. On la lit directement, sans aucun calcul — c’est le moyen le plus rapide de retrouver une fonction affine à partir de sa représentation.

À quoi servent les fonctions ?

À comparer deux tarifs, ce qui est l’exercice de brevet type : à partir de quel nombre de séances l’abonnement devient-il plus intéressant que le paiement à l’unité ? On écrit les deux fonctions, on résout l’équation qui les égalise, et on conclut.

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