Échelles et agrandissement

Calculer

Doubler les côtés quadruple l’aire

Un carré de 3 cm de côté a une aire de 9 cm². Doublez le côté : 6 cm, et l’aire fait 36 cm² — quatre fois plus, pas deux. La raison tient en une phrase : une aire est un produit de deux longueurs, donc chaque longueur doublée compte deux fois.

C’est aussi pourquoi une pizza de 40 cm de diamètre ne vaut pas deux pizzas de 20 cm : elle en vaut quatre.

Les échelles qu’on croise

• 1 / 25 000Carte de randonnée IGN

  1 cm sur la carte fait 250 m en vrai. C’est l’échelle des cartes de marche.

• 1 / 100 000Carte départementale

  1 cm fait 1 km. La plus facile à lire de tête.

• 1 / 1 000 000Carte de France

  1 cm fait 10 km. Toute la France tient sur une page.

• 1 / 100Plan d’architecte

  1 cm fait 1 m. C’est l’échelle des plans de maison.

• 1 / 50Plan de détail

  2 cm font 1 m. On y voit l’épaisseur des murs.

• 20 / 1Dessin technique d’une petite pièce

  Un agrandissement : la pièce est vingt fois plus grande sur le papier.

Les quatre erreurs

• Appliquer le coefficient aux aires.

  Les aires suivent le carré du coefficient, les volumes son cube. Doubler les côtés d’un carré quadruple son aire — c’est la question qui tombe systématiquement, précisément parce que l’intuition dit le contraire.

• Se tromper de sens.

  Du plan vers la réalité on divise par l’échelle ; de la réalité vers le plan on multiplie. Le contrôle qui ne trompe pas : sur une carte, la réalité est toujours le plus grand des deux nombres.

• Oublier de convertir les unités.

  Une échelle relie deux longueurs dans la même unité. 1/25 000 donne un résultat en centimètres, qu’il faut ensuite passer en mètres ou en kilomètres — et c’est là que la moitié des copies s’arrêtent.

• Croire qu’une grande échelle donne une grande carte.

  C’est l’inverse. 1/25 000 est une « grande échelle » — le coefficient est plus grand que 1/1 000 000 — et montre un petit territoire en détail. Le vocabulaire des géographes est contre-intuitif, et les énoncés en jouent.

Les questions qu’on se pose

Comment calculer une distance réelle sur une carte ?

On divise la mesure du plan par l’échelle — ou, plus simple, on la multiplie par le dénominateur. Sur une carte au 1/25 000, 4 cm font 4 × 25 000 = 100 000 cm, soit 1 km. Le contrôle qui ne trompe pas : sur une carte, la réalité est toujours le plus grand des deux nombres.

Que devient l’aire quand on double les longueurs ?

Elle est multipliée par quatre, pas par deux. Une aire est un produit de deux longueurs : si chacune double, l’aire fait 2 × 2. Le volume, lui, est multiplié par huit. C’est la question qui tombe systématiquement, précisément parce que l’intuition dit le contraire.

Que signifie une échelle 1/25 000 ?

Que 1 cm sur la carte représente 25 000 cm en vrai, soit 250 m. C’est l’échelle des cartes de randonnée. À 1/100 000, 1 cm fait 1 km — la plus facile à lire de tête.

Une grande échelle donne-t-elle une grande carte ?

Non, c’est l’inverse, et le vocabulaire des géographes est contre-intuitif. 1/25 000 est une « grande échelle » parce que le coefficient est plus grand que 1/1 000 000 : elle montre un petit territoire, mais en détail. Les énoncés jouent régulièrement là-dessus.

Quelle différence entre agrandissement et réduction ?

Le coefficient. Plus grand que 1, c’est un agrandissement — le dessin est plus grand que la réalité, comme sur un dessin technique de petite pièce. Plus petit que 1, c’est une réduction — toutes les cartes et tous les plans.

Les angles changent-ils dans un agrandissement ?

Non, jamais. Un agrandissement conserve les angles et le parallélisme : c’est ce qui fait que la figure reste reconnaissable. Seules les longueurs, les aires et les volumes changent — chacune à son rythme.

La proportionnalité · Aires et périmètres · Le volume des solides