Le volume des solides

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Les sept formules

Le tiers n’est pas arbitraire : trois cônes remplissent exactement le cylindre de même base et de même hauteur, et trois pyramides remplissent le prisme. Faire l’expérience une fois avec du sable vaut mieux que retenir sept formules.

Une conversion de volume saute mille

Une longueur passe d’une unité à la suivante en multipliant par dix. Une aire, par cent. Un volume, par mille — parce qu’on multiplie trois longueurs. Appliquer la règle des longueurs fait perdre l’exercice entier avec une formule pourtant juste.

• 1 m³ = 1 000 dm³Un mètre cube vaut mille décimètres cubes.
• 1 dm³ = 1 000 cm³Un décimètre cube vaut mille centimètres cubes.
• 1 cm³ = 1 000 mm³Un centimètre cube vaut mille millimètres cubes.
• 1 dm³ = 1 LUn décimètre cube, c’est exactement un litre.
• 1 cm³ = 1 mLUn centimètre cube, c’est exactement un millilitre.
• 1 m³ = 1 000 LUn mètre cube vaut mille litres.

Le piège de chaque solide

• le cube

  Doubler l’arête ne double pas le volume, il le multiplie par huit. C’est la question qui tombe le plus souvent.

• le pavé droit

  Les trois mesures doivent être dans la même unité. Mélanger des centimètres et des mètres est l’erreur la plus fréquente des énoncés de brevet.

• le cylindre

  L’énoncé donne souvent le diamètre et non le rayon. On divise par deux avant de calculer — sinon le volume est multiplié par quatre.

• le prisme droit

  La hauteur est perpendiculaire à la base, pas la longueur d’une arête inclinée. Sur une figure en perspective, ce n’est pas le même segment.

• la pyramide

  Le tiers s’oublie. Et la hauteur n’est pas l’arête qui monte au sommet : c’est la perpendiculaire à la base.

• le cône

  La hauteur n’est pas la génératrice — le côté incliné. Les énoncés donnent souvent la génératrice, et il faut passer par Pythagore pour trouver la hauteur.

• la boule

  La sphère est la surface, la boule est le solide plein. On calcule l’aire d’une sphère et le volume d’une boule — un énoncé de brevet joue régulièrement sur ce mot.

Les questions qu’on se pose

Quels solides prennent un tiers dans leur formule ?

Le cône, la pyramide et la boule. Le cube, le pavé, le cylindre et le prisme, non. La raison est géométrique : trois cônes remplissent exactement le cylindre de même base et de même hauteur, et trois pyramides remplissent le prisme. Si vous ne retenez qu’une chose du chapitre, retenez celle-là.

Comment convertir des mètres cubes en litres ?

Un mètre cube vaut mille litres, et un décimètre cube vaut exactement un litre. La règle qui compte : une conversion de volume saute mille d’une unité à la suivante, pas dix. Un élève qui applique la règle des longueurs se trompe d’un facteur cent, avec une formule pourtant juste.

Que se passe-t-il si on double l’arête d’un cube ?

Le volume est multiplié par huit, pas par deux. Parce qu’on double trois longueurs à la fois : 2 × 2 × 2 = 8. C’est la question qui tombe le plus souvent, et celle qu’on rate le plus.

Comment trouver la hauteur d’un cône ?

Les énoncés donnent souvent la génératrice — le côté incliné — et non la hauteur. On passe alors par le théorème de Pythagore : la hauteur, le rayon et la génératrice forment un triangle rectangle. C’est l’exercice de brevet type, qui enchaîne Pythagore et le volume.

Quelle différence entre une sphère et une boule ?

La sphère est la surface, la boule est le solide plein. On calcule donc l’aire d’une sphère et le volume d’une boule. Les énoncés de brevet jouent régulièrement sur ce mot, et une réponse « le volume de la sphère » perd un point de rigueur.

En quelle classe apprend-on chaque volume ?

Le cube et le pavé au CM2, le prisme en cinquième, la pyramide, le cône et le cylindre en quatrième, la boule en troisième. Tous reviennent au brevet, souvent dans un exercice qui en combine deux.

Aires et périmètres · Le théorème de Pythagore · Convertir des mesures