Les probabilités
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La probabilité
1/6
soit 0,1667, ou 16,67 %
- Toutes les issues ont la même chance : on est en situation d’équiprobabilité.
- Il y a 1 cas favorable sur 6 au total.
- p = 1/6
- Soit 0,1667, ou 16,67 %.
L’événement contraire vaut 5/6, soit 83,33 %. Devant « au moins un », c’est presque toujours par là qu’il faut passer.
Ce que l’intuition croit, et qui est faux
« Ça fait trois fois pile, donc face a plus de chances. »
Une pièce n’a pas de mémoire. La probabilité reste un demi au lancer suivant, quels que soient les précédents. C’est l’erreur la plus universelle du chapitre, et elle a un nom : le paradoxe du joueur.
« J’ai une chance sur deux : soit je gagne, soit je perds. »
Deux issues ne veulent pas dire deux chances égales. Gagner au loto ou non fait deux issues, et certainement pas une chance sur deux. L’équiprobabilité doit être justifiée, jamais supposée.
« Pour que les deux arrivent, j’additionne. »
On multiplie. Deux conditions sont plus difficiles à remplir qu’une, donc la probabilité doit diminuer — une addition la ferait grandir, ce qui n’a aucun sens.
« Une probabilité peut dépasser 1. »
Jamais. Une probabilité va de 0 — impossible — à 1 — certain. Un résultat au-dessus de 1 signale une erreur de calcul, et c’est le contrôle le plus rapide qu’on puisse faire.
« Ce numéro n’est jamais sorti, il va sortir. »
C’est la même erreur que le paradoxe du joueur, en plus coûteuse. Un tirage aléatoire ne se souvient pas des précédents, et rien ne « rattrape » un retard.
La technique du « au moins un »
Devant « au moins un », on calcule presque toujours le contraire : « aucun ». Un seul calcul au lieu de trois, et l’on soustrait à 1 pour finir. C’est la technique la plus rentable du chapitre.
On lance deux dés. Quelle est la probabilité d’obtenir au moins un six ?
- Le contraire de « au moins un six » est « aucun six » — bien plus simple à compter.
- Ne pas faire six sur un dé : 5/6. Sur les deux : 5/6 × 5/6 = 25/36.
- Donc au moins un six : 1 − 25/36 = 11/36, soit environ 31 %.
Compter directement aurait demandé d’énumérer onze cas favorables sans en oublier. Un seul calcul remplace l’énumération.
Additionner ou multiplier
On multiplie
Quand on veut que les deux arrivent : pile et un six. La probabilité diminue, parce que deux conditions sont plus dures à remplir qu’une.
On additionne
Quand les événements s’excluent : tirer un roi ou une dame. La probabilité augmente, parce qu’on élargit les cas favorables.
Le repère qui ne trompe pas : si le résultat grandit alors que vous exigiez deux choses à la fois, vous avez additionné à tort.
Les questions qu’on se pose
- Comment calculer une probabilité ?
- En situation d’équiprobabilité — toutes les issues ont la même chance —, on divise le nombre de cas favorables par le nombre de cas possibles. Un dé à six faces, obtenir un 4 : une chance sur six. C’est tout le calcul du collège.
- Sous quelle forme faut-il rendre le résultat ?
- Presque toujours en fraction irréductible : c’est la consigne la plus fréquente du chapitre. Un pourcentage juste ne satisfait pas une consigne qui demande une fraction, et le point saute. Les trois écritures disent la même chose, l’énoncé en veut une.
- Après trois fois pile, face a-t-elle plus de chances ?
- Non. Une pièce n’a pas de mémoire : la probabilité reste un demi au lancer suivant, quels que soient les précédents. Cette erreur a un nom — le paradoxe du joueur — et elle est la plus universelle du chapitre.
- Comment traiter un énoncé qui dit « au moins un » ?
- Devant « au moins un », on calcule presque toujours le contraire : « aucun ». Un seul calcul au lieu de trois, et l’on soustrait à 1 pour finir. C’est la technique la plus rentable du chapitre.
- Faut-il additionner ou multiplier deux probabilités ?
- On multiplie quand on veut que les deux arrivent. Deux conditions sont plus difficiles à remplir qu’une, donc la probabilité doit diminuer — une addition la ferait grandir, ce qui n’a aucun sens. On additionne seulement quand les événements s’excluent : l’un ou l’autre, jamais les deux.
- Une probabilité peut-elle valoir 1,5 ?
- Jamais. Une probabilité va de 0 — impossible — à 1 — certain. Un résultat au-dessus de 1 signale une erreur de calcul, et c’est le contrôle le plus rapide qu’on puisse faire sur une copie.
Rendre une fraction irréductible · Moyenne, médiane et étendue
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Une intuition fausse ne se corrige pas en la lisant
On peut lire dix fois qu’une pièce n’a pas de mémoire et le repenser au lancer suivant. Le Prof du soir remet la question sous d’autres formes, à intervalles espacés, jusqu’à ce que la bonne réponse vienne avant l’intuition.
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