Résoudre une équation
Résoudre une équation
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Votre équation
Votre équation a la forme ax + b = cx + d. Saisissez les quatre nombres — mettez 0 là où il n’y a rien.
3x + 2 = x + 8
Solution
x = 3
3x + 2 = x + 8
L’équation de départ.
2x + 2 = 8
On retire x des deux côtés : une équation reste vraie si on fait la même chose à gauche et à droite.
2x = 6
On retire 2 des deux côtés, pour laisser l’inconnue seule à gauche.
x = 6 ÷ 2
On divise les deux membres par 2, le coefficient de l’inconnue.
x = 3
C’est la solution.
Vérification
- À gauche : 3x + 2 = 11.
- À droite : x + 8 = 11.
- Les deux membres sont égaux : la solution est vérifiée.
La balance, qui explique tout
Une équation est une balance en équilibre. On peut retirer le même poids des deux plateaux, ou couper le contenu des deux plateaux en trois : l’équilibre tient. Tout ce qu’on fait d’un seul côté le rompt.
Autorisé
- Ajouter le même nombre des deux côtés
- Retirer le même terme des deux côtés
- Multiplier ou diviser les deux membres entiers
Interdit
- Changer un seul côté
- Diviser une partie du membre seulement
- Diviser par zéro
Les deux cas qu’on n’attend pas
2x + 1 = 2x + 3
On retire 2x des deux côtés : il reste 1 = 3, qui est faux. Aucun nombre ne peut rendre cette égalité vraie : l’équation n’a pas de solution.
2x + 1 = 2x + 1
Même opération : il reste 0 = 0, qui est vrai quel que soit x. Tous les nombres sont solutions.
Ces deux-là tombent en contrôle exprès : ils vérifient qu’on comprend ce qu’on fait au lieu de dérouler une méthode. Une réponse vide y perd tous les points, alors qu’une phrase — « l’inconnue disparaît et l’égalité est fausse » — les gagne tous.
Les erreurs de signe
Changer un signe d’un seul côté.
Une équation est une balance. Retirer 3 à gauche sans le retirer à droite la déséquilibre, et tout ce qui suit est faux — sans qu’aucune ligne n’ait l’air fausse.
Oublier de changer le signe en faisant passer un terme.
« Faire passer de l’autre côté » est un raccourci : ce qu’on fait vraiment, c’est retirer le même terme des deux côtés. Écrire la soustraction en entier une fois sur deux évite la faute.
Diviser par le coefficient sans diviser tout le membre.
Dans 3x = 12 − 6, on ne peut pas diviser 12 par 3 en laissant le 6 tranquille. On calcule d’abord le membre de droite, puis on divise.
Croire qu’une équation a toujours une solution.
2x + 1 = 2x + 3 n’en a aucune, et 2x + 1 = 2x + 1 en a une infinité. Ces deux cas tombent en contrôle exprès, et une réponse vide y perd tous les points.
Les questions qu’on se pose
- Comment résout-on une équation du premier degré ?
- En trois temps. On rassemble les inconnues d’un côté et les nombres de l’autre, en retirant le même terme des deux côtés. Puis on divise les deux membres par le coefficient de l’inconnue. Enfin on vérifie, en remplaçant x par la valeur trouvée dans l’équation de départ.
- Pourquoi a-t-on le droit de « faire passer de l’autre côté » ?
- Parce qu’une équation est une balance : elle reste vraie si on fait la même chose à gauche et à droite. « Faire passer » est un raccourci pour « retirer le même terme des deux côtés ». Écrire la soustraction en entier, ne serait-ce qu’une fois sur deux, supprime la moitié des erreurs de signe.
- Que faire quand il y a des x des deux côtés ?
- On les rassemble d’un seul côté. Dans 3x + 2 = x + 8, on retire x des deux côtés : il reste 2x + 2 = 8. Le reste se déroule normalement. Choisir le côté où le coefficient est le plus grand évite de travailler avec un nombre négatif.
- Une équation peut-elle n’avoir aucune solution ?
- Oui. 2x + 1 = 2x + 3 se simplifie en 1 = 3, ce qui est faux quel que soit x : aucune valeur ne convient. Et 2x + 1 = 2x + 1 se simplifie en 0 = 0, vrai pour tout x : il y a une infinité de solutions. Ces deux cas tombent en contrôle exprès, et une copie qui laisse la réponse vide y perd tous ses points.
- Faut-il vérifier sa solution ?
- Toujours, et cela prend dix secondes. On remplace x par la valeur trouvée dans l’équation de départ, on calcule les deux membres séparément, et on regarde s’ils sont égaux. C’est le seul moyen de rattraper une erreur de signe avant de rendre la copie.
- En quelle classe apprend-on les équations ?
- La mise en équation commence en cinquième, la résolution complète en quatrième, et la troisième y ajoute les équations produit et les problèmes à mettre en équation. Elles servent ensuite dans toutes les matières scientifiques jusqu’au baccalauréat.
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Une méthode ne se retient pas : elle se refait
Un élève qui a suivi la résolution une fois croit l’avoir comprise, et bute trois semaines plus tard sur la même équation. Le Prof du soir la lui refait faire à intervalles espacés, quelques minutes par soir, jusqu’à ce que la justification vienne sans qu’il y pense.
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