Puissances et notation scientifique

Calculer

Les cinq règles

• Un produit de puissancesaⁿ × aᵐ = aⁿ⁺ᵐ

  On empile les facteurs : 2³ × 2² vaut (2 × 2 × 2) × (2 × 2), soit cinq facteurs. On additionne donc les exposants.

  Cela ne marche que si la base est la même. 2³ × 3² ne se simplifie pas.

• Un quotient de puissancesaⁿ ÷ aᵐ = aⁿ⁻ᵐ

  On barre les facteurs communs : 2⁵ ÷ 2² laisse trois facteurs. On soustrait donc les exposants.

  Quand l’exposant du bas est plus grand, le résultat a un exposant négatif — et reste positif.

• Une puissance de puissance(aⁿ)ᵐ = aⁿˣᵐ

  On répète le paquet : (2³)² vaut 2³ × 2³, soit six facteurs. On multiplie donc les exposants.

  C’est la seule des trois où l’on multiplie. La confondre avec le produit fait écrire (2³)² = 2⁵ au lieu de 2⁶.

• L’exposant zéroa⁰ = 1

  En descendant l’escalier : 2³ = 8, 2² = 4, 2¹ = 2, et chaque marche divise par deux. La suivante donne 1.

  Cela vaut pour tout nombre sauf zéro : 0⁰ n’est pas défini.

• L’exposant négatifa⁻ⁿ = 1 ÷ aⁿ

  On continue le même escalier vers le bas : après 2⁰ = 1 vient 2⁻¹ = 0,5, puis 2⁻² = 0,25.

  Un exposant négatif ne rend pas le nombre négatif. 10⁻³ vaut 0,001, jamais −1000. C’est l’erreur la plus fréquente du chapitre.

Les trois qu’on mélange

La troisième ligne est la seule où l’on multiplie, et c’est celle qu’on confond avec la première. Le moyen de ne plus se tromper : développer une fois. (2³)² vaut 2³ × 2³, donc six facteurs — pas cinq.

Les ordres de grandeur qu’on croise

• Un nanomètre 10⁻⁹ mla taille d’une molécule
• Un micromètre 10⁻⁶ mla taille d’une bactérie
• Un millimètre 10⁻³ ml’épaisseur d’une pièce de monnaie
• Un kilomètre 10³ mdix minutes de marche
• La distance Terre-Lune 3,8 × 10⁸ menviron 384 000 km
• La vitesse de la lumière 3 × 10⁸ m/s300 000 km par seconde

Les questions qu’on se pose

Pourquoi 10 puissance 0 vaut-il 1 ?

Parce que c’est la marche suivante de l’escalier. 10³ = 1000, 10² = 100, 10¹ = 10 : chaque marche divise par dix. La suivante donne 1. Ce n’est pas une convention arbitraire, c’est la continuité de la règle — et c’est vrai pour toute base sauf zéro.

Un exposant négatif rend-il le nombre négatif ?

Jamais. 10⁻³ vaut 0,001, pas −1000. L’exposant négatif signifie « un divisé par », pas « moins ». En continuant l’escalier vers le bas : après 10⁰ = 1 vient 10⁻¹ = 0,1, puis 10⁻² = 0,01. C’est l’erreur la plus fréquente du chapitre, et la plus facile à défaire.

Comment mettre un nombre en notation scientifique ?

On déplace la virgule pour ne laisser qu’un seul chiffre non nul devant elle, et on compte les rangs parcourus. 0,000042 devient 4,2 × 10⁻⁵. Deux écritures se rendent souvent et sont fausses : « 0,42 × 10⁻⁴ » — zéro devant la virgule — et « 42 × 10⁻⁶ » — deux chiffres.

Faut-il additionner ou multiplier les exposants ?

Cela dépend de l’opération, et c’est là qu’on se trompe. Dans un produit, on additionne : 2³ × 2² = 2⁵. Dans un quotient, on soustrait. Dans une puissance de puissance, on multiplie : (2³)² = 2⁶. Trois situations qui se ressemblent, trois opérations différentes.

À quoi sert la notation scientifique ?

À comparer. 0,000042 et 0,0000058 se comparent difficilement à l’œil ; 4,2 × 10⁻⁵ et 5,8 × 10⁻⁶ se comparent d’un regard, sur l’exposant. C’est son usage réel en physique et en SVT, bien plus que le simple gain de place.

En quelle classe apprend-on les puissances ?

Les puissances de dix en quatrième, les exposants négatifs et la notation scientifique en quatrième également, puis toutes les règles de calcul en troisième. Elles servent ensuite en physique et en chimie sans interruption jusqu’au baccalauréat.

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